Công thức Kelly + cỡ vị thế thực chiến

1. Nguồn gốc toán của công thức Kelly

Công thức Kelly do John L. Kelly Jr., kỹ sư AT&T Bell Labs, công bố năm 1956 trong bài "A New Interpretation of Information Rate". Mục tiêu ban đầu không liên quan trading: Kelly muốn tìm chiến lược đặt cược tối ưu cho một con bạc biết trước thông tin chưa hoàn hảo.

Edward Thorp (giáo sư toán + nhà sáng lập quỹ Princeton-Newport) áp dụng vào blackjack và sau đó vào quản trị danh mục đầu tư trong thập niên 1970-80. Cuốn "Beat the Market" và bài Thorp công bố trong The Mathematical Sciences là tài liệu nền tảng.

Ý tưởng: tối ưu hóa tăng trưởng log của vốn dài hạn. Khác với tối ưu hóa giá trị kỳ vọng (có thể dẫn đến cháy tài khoản vì đường cong rủi ro), tối ưu hóa log đảm bảo giá trị kỳ vọng tăng trưởng vô hạn mà không cháy.

2. Tách công thức: f = (bp - q) / b

Công thức Kelly đơn giản nhất (binary outcome):

f* = (b × p - q) / b

Trong đó:

• f* = phần vốn nên đặt vào lệnh (0 đến 1, vd 0.125 = 12.5%).
• b = tỷ lệ lời/lỗ. Nếu thắng nhận gấp 2 lần khoản đặt cược, b = 2. Trong trading b = R thắng trung bình / R thua trung bình.
• p = xác suất thắng (0 đến 1).
• q = 1 - p, xác suất thua.

Tính tay: chiến lược 60% thắng (p = 0.6, q = 0.4), tỷ lệ lời/lỗ 1.5 (b = 1.5). f = (1.5 × 0.6 - 0.4) / 1.5 = 0.5 / 1.5 = 0.333 = 33.3%.

Đó là Full Kelly. Hơn 1/3 vốn vào mỗi lệnh — rất nhiều người sẽ chùn tay khi đọc.

3. Đường cong vốn của full / half / quarter Kelly

Mô phỏng đường cong vốn cho chiến lược p=0.55, b=1.5, qua 1000 lệnh, vốn ban đầu 10000 USDT:

• Full Kelly (25%): vốn cuối kỳ vọng ~290000 USDT. Drawdown cực đại trung bình ~75%. Có 8% xác suất giảm > 90% tại một thời điểm.
• Half Kelly (12.5%): vốn cuối kỳ vọng ~140000 USDT. Drawdown cực đại ~40%. Xác suất giảm > 70% < 1%.
• Quarter Kelly (6.25%): vốn cuối kỳ vọng ~70000 USDT. Drawdown cực đại ~22%. Xác suất giảm > 50% rất hiếm.
• 1/10 Kelly (2.5%): vốn cuối kỳ vọng ~35000 USDT. Drawdown cực đại ~10%.

Đọc bảng: cắt Kelly không giảm tăng trưởng tỷ lệ với cắt %. Half Kelly tăng trưởng ~48% của Full Kelly (140k/290k), drawdown chỉ ~53% (40/75). Quarter Kelly tăng trưởng ~24%, drawdown ~29%.

Đường cong drawdown cắt nhanh hơn đường cong tăng trưởng → cắt Kelly có lợi cho tỷ lệ rủi ro/lợi nhuận.

4. Suy luận thực chiến: 55% thắng 1.5 lời/lỗ → 12.5% vị thế

Ví dụ điển hình. Chiến lược perp BTC, đo 90 ngày qua:

• Tỷ lệ thắng: 55% (p = 0.55, q = 0.45).
• R thắng trung bình: 1.5R. R thua trung bình: 1.0R. Vậy b = 1.5.

Full Kelly: f = (1.5 × 0.55 - 0.45) / 1.5 = 0.375 / 1.5 = 25%.

Half Kelly: 12.5%. Quarter Kelly: 6.25%.

Vốn 5000 USDT, dùng Half Kelly: mỗi lệnh đặt 625 USDT (vốn ký quỹ). Nếu đòn bẩy 5x, danh nghĩa 3125 USDT. R/lệnh = stop% × danh nghĩa. Stop 2% → R = 62.5 USDT, đúng 1.25% tổng vốn.

Quan sát: 1.25% R/lệnh khớp với quy tắc "R/lệnh ≤ 2% tổng vốn" trong bài stop-loss và cỡ vị thế. Hai khung khác nhau (Kelly vs R-multiple) cho ra cùng phạm vi đề xuất → tin tưởng hơn.

5. Tại sao thị trường tài chính không dùng full Kelly

Kelly giả định bạn biết chính xác p và b. Trong cờ bạc với cards đếm được, đây là giả định hợp lý. Trong thị trường tài chính, không bao giờ.

Sai số ước lượng p (tỷ lệ thắng) thường ±5-10% sau 100 lệnh. Sai số b (tỷ lệ lời/lỗ) thường ±20-30%. Sai một bậc trong p hoặc b làm Full Kelly lệch thậm chí âm.

Ví dụ: bạn nghĩ chiến lược p = 0.6, b = 1.5 → Full Kelly 33.3%. Thực tế p = 0.5, b = 1.2 → Full Kelly thực = (1.2 × 0.5 - 0.5) / 1.2 = 0.083 = 8.3%. Bạn đang đặt gấp 4 lần Full Kelly thực — đường cong tăng trưởng dài hạn giảm về 0.

Quy tắc Thorp: "Trong thị trường, không bao giờ dùng quá Half Kelly. Quarter Kelly mới là an toàn." Lý do là buffer chống sai số ước lượng.

6. Điều chỉnh Kelly cho hợp đồng crypto — vì sao 1/4 Kelly hợp lý

Crypto có những đặc tính làm Kelly thận trọng hơn:

• Phân bố lệnh không bình thường: lệnh thua có thể có "fat tail" (cháy thanh lý). Kelly chuẩn giả định phân bố lệnh là binary outcome, không có outlier. Crypto có outlier rất lớn.
• Biến động thay đổi theo regime: chiến lược tốt trong bull market có thể là chiến lược tồi trong bear market. p và b không ổn định.
• Phí và funding: trong cờ bạc không có phí. Trong perp, mỗi lệnh có phí khứ hồi + funding. Phải trừ trước khi tính b.

Vì 3 yếu tố này, hầu hết trader perp chuyên nghiệp dùng Quarter Kelly hoặc thậm chí 1/10 Kelly. Mất tăng trưởng dài hạn, đổi lại drawdown chịu được, tâm lý ổn định, không cháy tài khoản.

7. Dùng 60-90 ngày nhật ký để ước p và b của bạn

Để dùng Kelly có ý nghĩa, cần p và b đo từ chính chiến lược của bạn, không phải con số tổng quát.

Quy trình:

1. Ghi nhật ký 30 lệnh đầu với cấu hình stop / cỡ vị thế cố định.
2. Tính p = số lệnh thắng / tổng lệnh. b = R thắng trung bình / R thua trung bình.
3. Áp Kelly: f = (bp - q) / b. Lấy Quarter Kelly.
4. Áp dụng cỡ vị thế Quarter Kelly cho 30 lệnh tiếp theo.
5. Cập nhật p và b với 60 lệnh tổng. Điều chỉnh.
6. Sau 90 lệnh, p và b đã ổn định. Có thể chuyển sang Half Kelly nếu drawdown thực tế trong giới hạn chấp nhận được.

Đừng tự đoán p và b. Có hai sai phổ biến: overconfidence (đánh giá p quá cao do bias chọn lệnh nhớ) và overestimation b (chỉ nhớ lệnh ăn to). Số đo từ nhật ký luôn thấp hơn cảm giác chủ quan.

8. Kelly không vạn năng — giả thiết phải có

Kelly đòi hỏi 3 giả thiết quan trọng:

1. p và b đo được, ổn định. Nếu chiến lược của bạn thay đổi mỗi tuần (do tâm lý hoặc tin tức), không thể áp Kelly — giả định stationarity vi phạm.
2. Lệnh độc lập. Kelly giả định mỗi lệnh không tương quan với lệnh trước. Trong thực tế, nhiều chiến lược có streak (chuỗi thắng/thua liên tiếp) do regime thị trường. Phải tách regime trước khi áp Kelly.
3. Vốn liên tục. Kelly giả định bạn có thể đặt cỡ vị thế chính xác bất kỳ %. Trong perp với cỡ vị thế tối thiểu, bạn không thể đặt 0.32 contract — phải làm tròn.

Khi giả thiết vi phạm, dùng quy tắc R-multiple đơn giản hơn (xem bài stop-loss và cỡ vị thế) thay vì Kelly. Hoặc dùng Calculator Kelly với chế độ Quarter Kelly mặc định để tự kiểm tra.