凯利公式 + 实战仓位

1. 凯利公式的数学起源

Kelly Criterion 由 Bell Labs 的物理学家 John Kelly Jr. 在 1956 年提出。原始论文叫《A New Interpretation of Information Rate》,本来是研究信息论里香农信道容量的扩展应用。它后来被赌徒(Edward Thorp 用它打 21 点)和投资人(Warren Buffett 的早期合伙人 Charlie Munger 推崇)广泛采用。

核心思想一句话讲清楚:在一个重复下注的赌局里,每次按本金的某个固定比例下注,这个比例的最优值是 f = (bp - q) / b,其中 p 是胜率、q = 1-p 是败率、b 是赔率(赔 1 倍是 b=1,赔 2 倍是 b=2)。

这个比例的「最优」意思是「让长期资金的几何增长率最大化」。注意是几何增长率,不是算术期望 — 因为复合下注是乘法过程,几何均值才是最有意义的衡量指标。

关于 Kelly 的英文资料,Wikipedia 的 Kelly Criterion 词条给了完整的数学推导。中文向去 Investopedia 的 Kelly Criterion 教程。

2. 公式拆解:f = (bp - q) / b

一项一项拆。设本金 W,每次按比例 f 下注。结果有两种:

赢:本金变 W × (1 + f × b)。例子,f=0.2,b=1.5,赢一次 → W 变 W × 1.3。

输:本金变 W × (1 - f)。例子,f=0.2,输一次 → W 变 W × 0.8。

N 次下注后,假设赢了 N×p 次、输了 N×q 次。本金变化是 W × (1 + fb)^(Np) × (1 - f)^(Nq)。我们要找让这个表达式最大的 f。

取对数 → log(W_N / W_0) = Np × log(1 + fb) + Nq × log(1 - f)。对 f 求导 = 0:

Np × b / (1 + fb) - Nq / (1 - f) = 0 → p × b × (1 - f) = q × (1 + fb) → pb - pbf = q + qbf → pb - q = pbf + qbf = bf(p + q) = bf。

所以 f = (pb - q) / b。这是 Kelly 公式的标准形式。

另一个等价写法:f = p - q/b。胜率减去「败率除以赔率」。意思是「净期望胜率」除以「单位风险的回报」。

3. 满凯利、半凯利、四分之一凯利的资金曲线

满凯利在数学上最优,但在「实际资金曲线」上它的特性可能让你不舒服:

编辑组用蒙特卡洛模拟了胜率 55%、赔率 1.5 的赌局,1000 次下注,初始本金 10,000 USDT,跑了 10,000 次模拟:

满凯利(25%):1000 次后本金中位数 1,250,000(放大 125 倍),但是 95% 区间是 [80,000, 21,000,000]。最大回撤中位数 −68%。意思是有一半的模拟路径中,你的资金会回撤超过 68%。

半凯利(12.5%):1000 次后中位数 350,000(放大 35 倍),95% 区间 [150,000, 1,200,000]。最大回撤中位数 −42%。本金增长慢一半,但是回撤减半,大多数情况下结果稳定。

四分之一凯利(6.25%):1000 次后中位数 95,000(放大 9.5 倍),95% 区间 [60,000, 180,000]。最大回撤中位数 −22%。增长更慢,但是最大回撤可控,几乎不会破产。

对比明显:满凯利期望最高,但是它的「资金曲线」剧烈震荡 — 你需要心理上承受 60-70% 回撤。半凯利在期望和稳定性之间取得平衡。四分之一凯利在「稳定性优先」时是好选择。

这个对比告诉你:Kelly 不是单一答案,而是一组曲线。你选哪一档,取决于你能承受多大回撤。

4. 实战推导:55% 胜率 1.5 赔率 → 12.5% 仓位

这一节是全文最实用的部分。我们以一个典型合约交易者的统计开始。

假设你统计了过去 90 天 50 笔 BTC 永续交易:28 笔盈利(胜率 56%)、22 笔亏损。平均盈利 +1.5R,平均亏损 −1R。

代入公式:

p = 0.56,q = 0.44,b = 1.5。

f = (1.5 × 0.56 - 0.44) / 1.5 = (0.84 - 0.44) / 1.5 = 0.40 / 1.5 = 0.267 ≈ 27%。

这是「满凯利」 — 每笔交易应该用本金的 26.7% 下注。换算成 R 框架,你的单笔最大损失 R 应该是本金的 26.7%。

半凯利 = 13.3%,意思是每笔最大风险本金 13.3%。

四分之一凯利 = 6.67%。

编辑组在加密合约的建议是 1/4 - 1/2 凯利,所以 R 在 6.67% - 13.3% 之间。如果你保守,选 6.67%;愿意承担更大波动,选 13.3%。

这个推导给的「实战仓位」比一般「每笔风险 1-2%」的经验法则大得多。差异来自哪里?来自「胜率 56%、赔率 1.5」这组参数 — 它代表的是一个相当不错的交易系统(EV = 0.56 × 1.5 - 0.44 = 0.4R/笔,每笔平均赚 0.4R)。如果你的真实 EV 是这个,Kelly 允许你下注更大。

反过来,如果你统计 90 天交易胜率 50% 赔率 1.0(EV = 0),Kelly 给出 f = 0 — 不应该下注。这是 Kelly 公式的诚实:它不会告诉你「负 EV 也能赚钱」。

5. 为什么金融市场不能用满凯利

金融市场的胜率和赔率都是估计值。你 90 天统计胜率 56%,实际真实胜率可能是 50%-60% 任何一个数(置信区间 ±5-8%)。满凯利对参数敏感:

真实 p=0.56,b=1.5 → f = 26.7%(你的估算)

真实 p=0.50,b=1.5 → f = 16.7%(你高估胜率 6%)

真实 p=0.46,b=1.5 → f = 9.3%(你高估胜率 10%)

真实 p=0.40,b=1.5 → f = 0%(你严重高估胜率)

真实 p=0.35,b=1.5 → f = −8%(你应该反向)

看出来了吗?如果你按 26.7% 满凯利下注,但真实胜率只有 50%,你实际上用了「相对最优(16.7%)」的 1.6 倍仓位。这个「过仓」状态下,你的资金曲线会比最优情况差很多。

实证研究表明,在参数有 5% 误差的情况下,使用半凯利的几何增长率仅比满凯利低 25% 左右,但是最大回撤减少一半。在参数有 10% 误差时,半凯利甚至比「错估满凯利」的几何增长率高。

结论:面对未知真实参数的金融市场,半凯利或更低是更稳健的选择。这不是数学上「次优」,而是「面对参数不确定时的最优防御」。

6. 加密合约的 Kelly 调整 — 1/4 凯利为什么合适

加密合约相比传统赌局/股票有几个特殊性,让 Kelly 系数需要进一步降低:

1. 波动率更高。BTC 日内波动率 ±2-3% 是常态,股票日内 ±1% 已经算大。同样杠杆下,加密的「实际风险」是股票的 2-3 倍。

2. 黑天鹅事件频繁。2024 年 BTC 经历至少 4 次单日波动 > 5% 的事件(03-05、03-14 突破 ATH、08-05 闪崩、11-08 ATH 突破)。每次黑天鹅都可能让单笔损失超出预设 R。

3. 杠杆放大不对称。10x 杠杆下,BTC −10% 让你本金归零,但 +10% 让你本金翻倍。强平价是单向的,没有「反向保护」。

4. 资金费率持续吃成本。Kelly 公式假设的是「赔率明确的单笔下注」,但是合约持仓还有 funding 持续吃费。长期持仓的真实赔率比单次胜负计算的赔率更低。

综合这 4 个因素,大多数加密合约交易员实际跑 1/4 - 1/3 凯利,把单笔风险控制在本金的 5-10%。这看起来比「每笔 1-2%」高,但是要记住:Kelly 给出的是「单笔最大 R」,实际仓位要除以杠杆。10x 杠杆下 R 占本金 5% 意味着仓位占本金 50%(止损 −10%)— 这跟「每笔仓位 50%」是一回事。

7. 用 60-90 天交易记录估算自己的 p 和 b

Kelly 公式有效的前提是 — 你能准确估计自己的胜率 p 和赔率 b。新人最大的问题是「样本太少」 — 跑了 10 笔交易就用胜率算 Kelly,完全不可靠。

编辑组的最低样本要求:60 笔(2-3 个月正常交易频率)以上。100-150 笔是稳健的样本量。理由是统计学上 95% 置信区间下,胜率估计误差与样本量的平方根反比 — 100 笔交易胜率估计误差 ±5%,1000 笔 ±1.5%。

具体步骤:

第一:把每笔交易记录在 Excel/Notion 里,字段包括:开仓日期、品种、方向、开仓价、平仓价、止损价、止盈价、单笔 R(预设最大亏损 USDT)、实际盈亏(R 倍数表达)。

第二:60-90 天后统计胜率 p = 盈利笔数 / 总笔数。

第三:统计平均盈利 R 和平均亏损 R,赔率 b = 平均盈利R / 平均亏损R。

第四:代入 Kelly 公式 f = (bp - q) / b。

第五:取 1/2 - 1/4 凯利作为下一阶段的实际单笔 R。

这个流程的核心是「用真实数据校准」。它防止你按一厢情愿的胜率/赔率下注。如果你跑 90 天发现自己 p=0.42,b=1.2(EV = 0.42×1.2-0.58 = −0.076,负 EV),Kelly 公式会诚实告诉你 f < 0 — 你应该暂停现行策略,直到改进胜率或赔率。

8. Kelly 不是万能 — 它要求的前提

Kelly 公式在四个前提下才有效:

前提 1:胜率/赔率稳定。Kelly 假设每一笔交易的胜率/赔率分布是稳定的。金融市场存在 regime change(行情结构性变化),牛市跑出来的胜率 60% 到熊市可能掉到 40%。每年至少重新评估一次自己的 p 和 b。

前提 2:重复独立下注。Kelly 要求每次下注互相独立。但是合约里你经常持有相关性高的多个仓位(同时多 BTC + 多 ETH 相关性 0.85),它们的盈亏不独立。这时候你的「有效 Kelly 仓位」要按组合 delta 重新算,通常比单独算每一笔 Kelly 加总要小。

前提 3:你能承受最大回撤。即使 1/4 凯利在长期模拟中也可能出现 −22% 的最大回撤。如果你心理上承受不了 −22%(看到本金从 10,000 跌到 7,800 你睡不着),你需要进一步降低仓位到 1/8 凯利或更低。

前提 4:你的样本量足够大。前面说的 60-90 天 / 100+ 笔交易是最低要求。新人前 30 天不要用 Kelly,直接用「每笔 R = 本金 1%」的固定规则,积累样本后再升级到 Kelly。

最后一个提醒:Kelly 不能跟其他「无脑放大仓位」策略组合使用。如果你用 Kelly 算出 12.5% R,然后又用 50x 杠杆,等于实际单笔风险高达本金的 600% — 这早已不是 Kelly 的最优,而是数学上的 100% 破产保证。

读到这里你可以接着看《止损与仓位的本质矛盾》,看 R 框架的运用细节。或者打开 仓位计算器,把你估算的 p、b 直接填进去,得到对应的 1/4 凯利仓位。